オイラー 角 回転 行列。 オイラー角について

回転行列

オイラー 角 回転 行列

この文書は「よくわかる解析力学」【東京図書】の付録C. 2節(344ページ)で説明しているオイラー角を動く図を使って説明したものです。 webGLという3Dのライブラリが動かないブラウザ環境では遅くなる場合があります。 できるかぎり、webGLの使える環境で動かしてください。 剛体の運動を考えるとき、剛体が今どのような位置関係を持っているかを3つの角度を使って表現するのが「オイラー角」である。 passiveな変換、すなわち座標系の方を回す変換として説明する。 図に示したように座標軸の向きを変える。 下の図では、その三つの角度を変更して、どういう変換を行っているかをアニメーションで見ることができる。 回転の向きはすべて右ねじが軸の方向に進むときに右ねじが回る向きである。 スライダーを動かしていろいろな値にして、確認しよう。 具体的計算結果は以下の通り。 これとは順番を変える定義もある。 ここで紹介したのと同じ回転を、操作の手順を少し変えて解釈して表すこともできる。 で説明されているので参考にしてください。 プログラムについて御質問、御要望、バグ報告などございましたら、くださるか、または、twitterにてまでメンションしてください。

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姿勢の算出

オイラー 角 回転 行列

概要 Unityは基本的に回転をクォータニオンで管理しています。 その他のエンジンも、おそらくクォータニオンで回転を制御していると思います。 というのも、オイラー角では「ジンバルロック」などの問題があるため、制御するのに不安定さがあるためです。 しかし、場合によってはオイラー角で値を求めたい場合があります。 Unityであれば、クォータニオンから簡単にオイラー角を取得することができますが、では内部ではどういう処理が行われているのか。 それを色々な記事を参考にまとめてみたいと思います。 クォータニオンから回転行列を取り出す まずはクォータニオンから回転行列を取り出します。 回転行列の要素から、オイラー角を推測するためです。 まるぺけさんのこちらの記事()を参考にさせてもらうと、クォータニオンの各成分から回転行列を求めることができるようです。 任意軸の回転行列 まず、任意軸の回転行列は以下のように構成されます。 一瞬、「なんでやねん」と思うかもしれませんが(自分は思いました)、倍角の公式などを使って展開してやるとしっかりとその値が出現します。 ちなみに三角関数の公式などは前にまとめた記事があるのでそちらも参照してみてください。 () 三角関数の公式を使って導き出す 倍角の公式は以下になります。 そして、Unityでの回転行列の作り方(各軸の回転行列のかける順番)は、上記記事と同じくZXYです。 これで無事、各値が求まった・・と思いきや、特殊なケースが存在します。 Cxが 0の場合、すべての値 0になってしまって答えを求めることができなくなってしまいます。 そこで、その特殊なケースを場合分けして以下のように考えます。 この状態のときだけ条件分岐してやればいいわけですね。 が、 実はよーく見てもらうと上で求めた式とは若干違う部分があります。 Atan2 m01 , m11 ; 引数に与えている成分のマイナス記号が逆になっているんですね。 そして、なぜここが逆転するのかは分かりませんでした・・。 ただ、マイナスを逆転したら正常に回転がコピーできました。 が、値としては想定した値になっていたので、ひとまずはOKとしました・・。 [追記] コメントで指摘してもらいましたが、そもそも参考にした記事が、座標変換のための回転行列と、位置ベクトルの回転行列による話で、そもそも対象としているのが違うためでは、ということでした。 「教えて!goo」に似た質問とそれに対する回答があったので追記しておきます。 見てもらうと分かりますが、まさに符号だけが逆転しているのが分かります。

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3D における回転の表現と相互変換

オイラー 角 回転 行列

物理エンジンのジョイントを作るときにオイラー角についてかなり悩んだので覚え書きです。 一般的な回転行列の表現方法としてよく使われるオイラー角ですが、その分かり辛さや性質の悪さから嫌われ者となることもしばしばです。 ここではオイラー角の分かり辛い点や性質の悪さ、そしてそんな オイラー角と少しでも仲良くなるために必要な理解を書いておきます。 このとき、合成の順序はいろいろ考えられ、どの合成順序を選ぶかでオイラー角の値は変わってきます。 ですので「オイラー角」とだけ言われるとどれのことか分かりません。 この記事では、以降明確な記述がない場合はx-y-z系のオイラー角を考えます。 ジンバルロック オイラー角に対応するものとして、よくジンバルが挙げられます。 適当に回してやると以下のようになります。 さて、このジンバル付きの箱を手で持ってぐりぐりと回すことを考えてみてください。 ジンバルは回転に関して3つの自由度を持つので特に問題なく回すことができるのですが、実はある状態に陥ると困ったことが発生します。 「ぐりぐりぐり~~」 「あッ!!!!!」 よく見てください。 回転の x軸とz軸が重なってしまいました。 こうなるともはやジンバルの自由度は2になってしまうため、手で回せない方向が発生してしまいます。 2つの円に垂直な軸方向にねじろうとしても回ってくれないことは明らかです。 このような状態に陥ることを 「ジンバルロック」といいます。 オイラー角の持つ悪い性質の一つとされます。 一つ注意しておきたいのは、ジンバルロックが問題となるのはオイラー角を使って 回転を「追跡」しようとする場合がほとんどであるということです。 実は任意の回転行列はオイラー角を用いて表現できるので、オイラー角の表現力が足りなくて困るといったことは起こりません。 回転行列とオイラー角は一対一に対応するか? しません。 に対して複数のオイラー角を 無限に得ることができます。 次にジンバルロックを起こしていない場合ですが、実はこちらも一対一対応することはありません。 分かりやすいように箱に色を付けています。 では、ここからx軸周りに180度ジンバルを回転させます。 更に、y軸周りに60度回転させます。 最後に、z軸周りに180度回転させます。 はい、元に戻りました。 赤と緑のリングがそれぞれ裏返っている状態です。 つまり1つの回転行列に対しオイラー角が2通り存在します。 x-y-z系以外のオイラー角についても、全て同様の手法で求めることができます。 「求め方」を知っていることは「公式」を知っていることよりも遥かに価値があるのです。 ここまで読むと「オイラー角って性質が悪い上に扱いにくくて嫌だな……」と思う人が多いのも納得できるかと思います。 ですが、そんなオイラー角にも実は 数学的に綺麗な一面があります。 相対回転としてのオイラー角 ここからは少し難しい話になりますが、2つの回転行列をつなぐ回転(相対回転)としてのオイラー角の性質を見ていきます。 このとき、剛体1の立場から剛体2を見たときの回転行列を R とします。 すると R は次のような連続する3回転の結合で表すことができます。 y' がどこに存在するかを考えてみましょう。 上の手順をよく見ると、 y' は次の2通りの方法で得られることが分かります。 こうしてみると、 オイラー角の回転軸が剛体1と剛体2の基底について対称的になっていることに気づきませんか?最初の回転軸は剛体1の基底から、最後の回転軸は剛体2の基底から、そして中間の回転軸は最初と最後の回転軸のどちらとも直交するベクトルから選ばれます。 この対称性こそがオイラー角のもつ美しさの一つなのではないかと思います。 また、ジンバルロックの発生条件も対称的です。 つまり、x-y-x系とx-z-x系のジンバルロックの発生条件は 同一です。。 ベクトルを列ベクトルと見なして内積を行列の積に置き換えると次のように書き直せます。 ことに注意してください。 後はこの R を先述の方法でオイラー角に変換してやれば、相対回転のオイラー角を得ることができます。 物理エンジンへの応用 2つの剛体の相対回転をオイラー角で制限するジョイントを作りました。 ジョイントを作るとなると、上に書いた以外にも特異点付近での挙動の不安定性など色々問題が発生するのですがここでは省略します。 このジョイントはBullet PhysicsのGeneric6DoFJointと同じものです。 自在継手(ユニバーサルジョイント、モップの先端についてるアレです)や車のタイヤに使われるジョイント(Hinge2Jointと呼ばれたりもします)などがオイラー角の拘束によって実現できます。 意外と身近な場所にオイラー角は存在するんですね……! 1. つまり、x-y-x系とx-z-x系のジンバルロックの発生条件は 同一です。 This entry was posted on 2018年5月19日 土曜日 at 10:21 PM and is filed under , ,. You can follow any responses to this entry through the feed. You can skip to the end and leave a response. Pinging is currently not allowed.

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