ブール 関数。 ブール論理

ブール論理

ブール 関数

引数0, 1, 2, 3個の単調ブール関数の自由分配束は、それぞれ 2, 3, 6, 20個の元から成る (一番右の束の各元にマウスオーバーすると、その関数を記述する式が読める)。 において、 デデキント数(デデキントすう、: Dedekind numbers)は急激に増大するの一つで、1897年にこれを定義したにちなむ。 デデキント数 M n は n 変数の個数に等しい。 等価的に、 n 元集合の ()の個数、 n 個の生成元から生成される ()の元の個数でもあり、また n 元集合の ()の個数を表す。 M n を表す漸近的に正確な式 およびによる表現式 が知られている。 定義 [ ] ブール関数とは、 n 個の(真か偽かのいずれかの値をとる変数。 あるいは等価だが0か1かのビット値をとる変数)を入力とし、別のブール型変数を出力する関数である。 ブール関数が単調であるとは、任意の入力の組合せに対して、1個の入力を偽から真に変えるとき、出力が偽から真に変わることはあっても真から偽に変わることはないことを言う。 デデキント数 M n は、 n 個の変数を入力値とする全ての単調なブール関数の個数を表す。 集合の反鎖(antichain, アンチチェイン、反チェイン)とは部分集合の族であって、どの相異なる2元も一方が他方を包含していないものを指す(これは ()(Sperner family)としても知られる)。 今 V を n 個のブール型変数の組とするとき、 V の反鎖 A は次のように単調ブール関数 f を定める:真であるような入力変数の集合が、 A の元を部分集合として少なくとも1つ持っているとき、 f の出力を真とする。 そうでないとき偽とする。 逆に、任意の単調ブール関数は同じようにして1つの反鎖を定める:出力が真となるような入力変数の定め方(真である入力変数の指定)の中で、包含関係について極小であるものを全て集めてきて A とする。 このように、デデキント数 M n は n 元集合の反鎖の個数に等しい。 これらと同じクラスを記述する3番目の同値な方法はを用いるものである。 全ての n 変数単調ブール関数から成る集合にこれら2つの二項演算を入れたものは分配束をなし、これは n 個の変数の冪集合に包含関係を順序として入れたから ()によって得られる束である。 このような構成によって n 個の生成子による自由分配束 が得られ、デデキント数はその束の元の数を与える。 デデキント数は n 元集合の抽象単体複体( n 元集合の冪集合の部分集合であって、性質「 x が元で、 y が x に包含されるならば y も元である」を持つもの)の個数に1を加えた値でもある。 任意の反鎖は、その各元とそれらの全ての部分集合を集めてくることで1つの抽象単体複体を定める。 逆に任意の抽象単体複体から、極大な部分集合を全て取り出してくると1つの反鎖になる。 2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788 (の数列 ) これらのうち最初の6個は によって与えられた。 M 6 は によって計算された。 M 7 は と により、 M 8 は により計算された。 n が偶数ならば M n も偶数でなければならない。 和による公式 [ ] は反鎖の論理学的定義を、次の算術的公式に書き直した。 大きな n に対しては和の項数が膨大になるため、 M n を計算するのに有用ではない。 漸近評価 [ ] デデキント数のをとったものは次の上界・下界で漸近的な評価ができる。 は、以下のより正確な評価式を導いた。 脚注 [ ]• ; ;. ここでの自由分配束の定義は(空の交わり、空の結びも含めて)任意有限個の元の交わりと結びを許すものである。 ちょうど2個の元の交わりと結びのみを許す定義では、束の最大元と最小元は除かれねばならず、自由分配束の元の数はデデキント数から2を引いた値になる。 ; ;. Brown, K. , , 参考文献 [ ]• Math. Sem. Giessen 121: 103—124,. As cited by. 103—148 (『数の最大公約数による分解について』)• ; Markowsky, G. Korshunov, A. 38: 5—108,. ; Woodrow, R. ; Sands, B. , Finite and Infinite Combinatorics in Sets and Logic Proc. NATO Advanced Study Inst. , Banff, Alberta, Canada, May 4, 1991 , Kluwer Academic Publishers, pp. 421—430,.

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3. ブール論理と論理回路の基礎 — Digital Electronic Circuits 1.0 ドキュメント

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実質上位互換な記事を書いてしまったのでこちらをどうぞ「」 本記事は「」10日目の記事です.前後の記事は以下の通りです.• 9日目: 氏による「」• 11日目: 氏による「」です. えー、割と良くない体調の中で書いたので色々と多めにみていただきたく… あ,図も書いてないですね…手元にいい感じに図を描けるものが無いので後日…とりあえず Wikipedia で代用… はじめに 本記事で扱うトピックは Binary Decision Diagram BDD ,および Zero-suppressed Binary Decision Diagram ZDD というデータ構造です.これらはそれぞれ,計算機科学でしばしば議論されている ブール関数,および 集合族を効率良く扱うことができるデータ構造です.具体的には,• 圧縮: ブール関数の主加法標準形,および集合族のリスト表現の長さよりも真に大きくはならず,指数的に小さくなる事例が多い 実メモリ的には定数倍を除いて考えています .• クエリ応答: メンバーシップクエリ,要素数のカウント,ランダムサンプリング,ある種の確率に関する数値計算,ある種の目的関数に対する最適解探索,etc... を高速に処理できる.• 演算: ブール関数,および集合族に関する様々な二項演算 三項以上の演算もあり を圧縮されたデータ構造上で計算する.これらの演算を総称して Apply 演算と呼ぶ. などの性質,機能を備えたリッチなデータ構造となっています. BDD はブール関数を圧縮処理することに特化しています.Bryant による効率的なアルゴリズム 圧縮技法,Apply 演算 の発見 [文献 1,1986] を期に大きく発展してきました.応用としては VLSI 設計,制約充足問題,システムの故障解析などが挙げられます.本記事では,構造の説明と BDD 上での Apply 演算の紹介,確率計算に関する解説をします. ZDD は BDD の派生系で集合族を圧縮処理することに特化しています.湊により考案され [文献 2,1993] , BDD の改良技術として注目を浴びています.特に,Knuth の著書 The Art of Computer Programming に,1つの章として取り上げられています.略記はもともと ZBDD だったらしいのですが,考案者が Knuth に ZDD の方が良いよと言われて以降,ほとんどの場合で ZDD と略されているようです.VLSI 設計,組合せ問題,データマイニングの分野などに応用があります.本記事では,構造の説明と ZDD 上での Apply 演算の紹介,組合せ最適化に関する解説をします. 準備 準備をしっかり書こうかなとも思いましたが,そんなに必要ない気がしたので簡潔に書きます.• Randal E. Bryant. "Graph-Based Algorithms for Boolean Function Manipulation", IEEE Transactions on Computers, C-35 8 :677—691, 1986. Shin-ichi Minato. "Zero Suppressed BDDs for Set Manipulation in Combinatorial Problems", 1993. Ryo Yoshinaka, Jun Kawahara, Shuhei Denzumi, Hiroki Arimura and Shin-ichi Minato. "Counterexamples to the long-standing conjecture on the complexity of BDD binary operations", Information Processing Letters, 2012.

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boolean

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これはにおける問題で基本的な役割を果たす。 効率的表現 [ ] (の)論理式で表現できるが、効率的な表現としては次のようなものがある。 BDD• PDAG 簡単化 [ ] 簡単な表現に変換する手法として次のようなものがある。 カット・アンド・トライ法 の定義を用い、効率的な表現に変形していく。 ベン図 を用いて視覚的にわかりやすい表現にする。 以上は人間の直感によるものであり「変換する手法」と言えたものではない。 カルノー図法 を用い、効率的な表現に変形していく。 クワイン・マクラスキー法 を用い、効率的な表現に変形していく。 計算機で簡単化するのに適している。 標準形 [ ] とが代表的である。 他に、リード-マラー標準形などがある。 リード-マラー標準形 [ ] リード-マラー標準形()は、積()の排他的論理和()による標準形である。 関連項目 [ ].

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